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\documentclass[12pt,t,aspectratio=169,mathserif]{beamer}
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\begin{document}

\title{高等代数一}
\subtitle{14-数域与向量空间的概念}
%\institute{上海立信会计金融学院}
\author{{\ppr LQW}}
%\renewcommand{\today}{{\ppr \number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日} }
\date{{\ppr 2022年11月8日} }

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{内容提要 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item  实数集与复数集
\item  数域的概念
\item  数域的例子%：实数域、复数域、有理数域
\item 向量空间的概念
\item 向量空间的例子
\end{enumerate}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{14.1. 什么是实数？}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  实数轴上的每个点都代表一个实数。
\item  实数分为有理数和无理数。
\item  有理数是能写成 ${p}/{q}$ 的数，其中 $p,q$ 是两个整数，$q\neq 0$. 
\item  有理数是能写成循环小数的数。
\item  无理数是能写成不循环小数的数。
\item  有理数全体组成的集合记为 $\mathbb{Q}$. 
\item  实数全体组成的集合记为 $\mathbb{R}$. 
\item  有理数组成的数列如果有极限，那么这个极限是有理数或无理数。
\item  一个实数可以看作是有理数组成的柯西数列的一个等价类。
\item  实数集是一个全序集，即任意两个实数都可以比较大小。
\item  一个实数可以看作是把有理数集分成左小右大的两个子集的一个划分。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{14.2. 什么是复数？}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  复数是能写成 $x+yi$ 的数，其中 $x$ 与 $y$ 是两个实数，$i=\sqrt{-1}$. 
\item  $Oxy$ 平面上的每个点 $(x,y)$ 都对应一个复数 $z=x+yi$. 
\item  复数的直角坐标写法是 $z=x+yi$, 其中 $x$ 称为实部，$y$ 称为虚部。
\item  复数的极坐标写法是 $z=re^{i\theta}$, 其中 $r$ 称为模长，$\theta$ 称为幅角。
\item  复数的直角坐标写法与极坐标写法的关系是
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
r &=& \sqrt{x^2+y^2}, \\ 
\tan\theta &=& \frac{y}{x};  
\end{array} \right. 
\hspace{0.5cm}
\left\{\begin{array}{rcl}
x &=& r\cos\theta, \\ 
y &=& r\sin\theta.  
\end{array} \right. 
\end{eqnarray*}

\item  复数 $z=x+yi$ 的共轭是指复数 $\bar{z}=x-yi$.   
%\item  一个复数 $z$ 如果满足 $z=\bar{z}$ 那么 $z$ 是一个实数。
%\item  一个复数 $z$ 如果满足 $z=-\bar{z}$ 那么 $z$ 是一个纯虚数。
\item  复数全体组成的集合记为 $\mathbb{C}$. 
\item  代数基本定理：任意复系数多项式都有复数根。
\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{14.3. 什么是数域？}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}定义：复数集合 $\mathbb{C}$ 的一个子集 $F$ 若满足下述条件则称为一个数域：}
\begin{enumerate}
\item[A1.]  {\color{red}数 $0,1$ 是 $F$ 中的元素；}%（$F$ 非空）；}
\item[A2.]  {\color{red}对任意 $a,b\in F$, 总有 $a+b,a-b,ab$ 都属于 $F$; }
\item[A3.]  {\color{red}对任意 $a,b\in F$, 且 $b\neq 0$, 总有 $a/b$ 属于 $F$. }
\end{enumerate}

\item 例子1：
\begin{itemize}
\item 复数全体 $\mathbb{C}$ 是一个数域。
\item 实数全体 $\mathbb{R}$ 是一个数域。
\item 有理数全体 $\mathbb{Q}$ 是一个数域。
\item 整数全体 $\mathbb{Z}$ 不是一个数域。
\end{itemize}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{14.4. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item 例子2：数集 $F:=\mathbb{Q}[i] = \{ a+bi \mid a,b,\in\mathbb{Q}\}$ 是一个数域。

\item 证明：

\begin{enumerate}
\item[A1.] 取 $a=0,1$ 以及 $b=0$, 即得 $0,1\in F$. 
\item[A2.] 设 $x,y\in F$, 要证 $x+y,x-y,xy\in F$. \\ 设 $x=a+bi,y=c+di$, 其中 $a,b,c,d\in \mathbb{Q}$, 则：
\begin{itemize}
\item $x+y=(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i\in F$. 
\item $x-y=(a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i\in F$. 
\item $xy=(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(bc+ad)i\in F$. 
\end{itemize}
\item[A3.] 设 $x,y\in F,y\neq 0$, 要证 $x/y\in F$. \\ 设 $x=a+bi,y=c+di$, 其中 $a,b,c,d\in \mathbb{Q}$, 且 $c,d$ 不全为零，则：
\[ \frac{x}{y} = \frac{a+bi}{c+di} = \hspace{3cm} \in F. \]
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{14.5. 向量空间的概念}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}定义：数域 $F$ 上的向量空间 $V$, 是指\underline{一个集合以及两种运算}：
\begin{enumerate}
\item[1.] {\color{red}加法运算：$'+': V\times V \to V$, $(\alpha,\beta)\mapsto \alpha+\beta$, }
\item[2.] {\color{red}数乘运算：$'\cdot': F\times V \to V$, $(k,\alpha)\mapsto k\cdot\alpha$, }
\end{enumerate}
符合八条公理：
\begin{enumerate}
\item[A1.]  {\color{red}加法交换律；}
\item[A2.]  {\color{red}加法结合律；}
\item[A3.]  {\color{red}存在零向量；}
\item[A4.]  {\color{red}每个向量都存在负向量；}
\item[A5.]  {\color{red}数乘与加法的第一种分配律；}
\item[A6.]  {\color{red}数乘与加法的第二种分配律；}
\item[A7.]  {\color{red}数乘再数乘的效果；}
\item[A8.]  {\color{red}用1数乘的效果。}
\end{enumerate}


}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{14.6. 一些数学符号}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  一个{\color{red}向量空间}是一个集合，一般用大写罗马字母来表示：$U,V,W,\cdots$. 
\item  {\color{red}向量空间}中的元素称为{\color{red}向量}，一般用小写希腊字母来表示：
$$\alpha, \beta, \gamma, \xi, \eta, \zeta, \theta, \cdots. $$ 
\item  数域 $F$ 中的数称为{\color{red}标量}，一般用小写罗马字母来表示：$a,b,c,k,\ell,m,\cdots$. 
\item  加法和数乘这两个运算称为{\color{red}线性运算}。
\item  数乘运算 $k\cdot\alpha$ 经常简写成 $k\alpha$.  
\item  {\color{red}集合}一般用大写罗马字母来表示：$A,B,C,S,T,\cdots$. 
\item  {\color{red}集合}里的{\color{red}元素}一般用小写罗马字母来表示：$a,b,c,s,t,\cdots$. 
\item  两个集合 $A,B$ 的{\color{red}笛卡尔积} $A\times B$ 是以有序的元素组 $(a,b)$ 为元素的集合，其中 $a$ 取遍 $A$ 中的元素，$b$ 取遍 $B$ 中的元素。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{14.7. 向量空间的公理}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item[A1.]  对任意 $\alpha,\beta\in V$, 有 $\alpha+\beta=\beta+\alpha$. 
\item[A2.]  对任意 $\alpha,\beta,\gamma\in V$, 有 $(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$. 
\item[A3.]  存在 $\theta\in V$, 使得对任意 $\alpha\in V$, 有 $\theta+\alpha=\alpha$. 称 $\theta$ 为零向量。
\item[A4.]  对任意 $\alpha\in V$, 存在 $\xi\in V$ 使得 $\xi+\alpha=\theta$. 记 $\xi=-\alpha$, 称为 $\alpha$ 的负向量。
\item[A5.]  对任意 $\alpha,\beta\in V$ 与 $k\in F$, 有 $k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$. 
\item[A6.]  对任意 $\alpha\in V$ 与 $k,m\in F$, 有 $(k+m)\alpha=k\alpha+m\alpha$. 
\item[A7.]  对任意 $\alpha\in V$ 与 $k,m\in F$, 有 $(km)\alpha=k(m\alpha)$. 
\item[A8.]  对任意 $\alpha\in V$, 有 $1\alpha=\alpha$. 
\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{14.8. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  例子3：实数列向量全体 $V=\mathbb{R}^{3\times 1}$, 在按分量定义的加法与数乘运算下，是一个向量空间。这相当于没有任何齐次线性方程约束的解集。

\item 集合：
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
V=\left\{ \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \,\,:\,\, x_1,x_2,x_3 \in\mathbb{R} \right\}. 
\end{eqnarray*}
}

\item 加法与数乘：
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} + 
\begin{bmatrix} y_1\\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix} x_1+y_1\\ x_2+y_2 \\ x_3+y_3 \end{bmatrix}, \hspace{0.3cm}
k\cdot \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} kx_1\\ kx_2 \\ kx_3 \end{bmatrix}.
\end{eqnarray*}
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{14.9. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item 例子4：实数列向量全体 $V=\mathbb{R}^{n\times 1}$, 在按分量定义的加法与数乘运算下，是一个向量空间。
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
V=\left\{ \begin{bmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \,\,:\,\, x_1,\cdots,x_n \in\mathbb{R} \right\}. 
\end{eqnarray*}
}

\item {\color{red}集合的记号}：我们把符合某种属性 $P$ 的所有元素 $x$ 组成的集合记为
\[ \{x \mid x \text{ 符合属性 } \, P\} \text{ 或 }\,\, \{x : x \text{ 符合属性 } \, P\}. \]

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{14.10. 向量空间的例子}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
%\item 本课程如无特别说明，数域都是默认为实数域，即 $F=\mathbb{R}$. 
\item 例子5：{\color{red}齐次线性方程组} $AX=0$ 的{\color{red}解集}是一个向量空间。例如：
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
V = \left\{ \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}\,\,:\,\, x_1+x_2+x_3 =0,\,\, x_1,x_2,x_3 \in\mathbb{R} \right\}. 
\end{eqnarray*}
}
\item 证明：若 $A\alpha=0$, $A\beta=0$ 则 $A(\alpha+\beta)=0$ 以及 $A(k\alpha)=0$, 所以这个解集中的元素在加法和数乘下的结果仍然在这个解集中。另外，由于这个加法与数乘运算符合八条公理，所以这个解集是一个向量空间。

\item 注：这个解集 $V$ 是一个向量空间，故也称为{\color{red}解空间}。从图像上看，这个解集是过原点的一个平面。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{14.11. 一些名称}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item 根据数域的不同，我们对向量空间有不同的称呼：
\begin{itemize}
\item 当 $F=\mathbb{R}$ 为实数域时， 称 $V$ 为{\color{red}实向量空间}。
\item 当 $F=\mathbb{C}$ 为复数域时， 称 $V$ 为{\color{red}复向量空间}。
\item 当 $F=\mathbb{Q}$ 为有理数域时， 称 $V$ 为{\color{red}有理数域上的向量空间}。
\end{itemize}

\item 对于 $V=\mathbb{R}^{n}$, 根据上下文的不同，有两种理解：
\begin{itemize}
\item 当$V$ 理解为 $\mathbb{R}^{n\times 1}$ 时，称为{\color{red}列向量空间}。
\item 当$V$ 理解为 $\mathbb{R}^{1\times n}$ 时，称为{\color{red}行向量空间}。
\end{itemize}

\item 行向量与列向量是互为转置的特殊矩阵，即
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
(x_1,\cdots,x_n)^t = \begin{bmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}.
\end{eqnarray*}
}
\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{14.12. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item 例子6：考虑{\color{red}非齐次线性方程组}的{\color{red}解集}
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
S=\left\{ \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{3}\,\,:\,\, x_1+x_2+2x_3 =4 \right\}. 
\end{eqnarray*}
}
判断 $S$ 在按分量进行的加法与数乘运算下，是否成为向量空间。

\item  解答：因为向量 $\alpha= (1,1,1)^t \in S$, 但是 $\alpha+\alpha\notin S$, 
所以这个加法运算在 $S$ 中不是定义好的。所以 $S$ 在按分量进行的加法与数乘运算下，不成为向量空间。

\item  注：从图像上看，这个解集是{\color{red}立体空间}中不过原点的一个平面。

%\item {\footnotesize 注意：我们只考虑这些行向量或列向量的最自然的加法与数乘运算，即按分量进行的加法和数乘。我们是否能够在集合 $S$ 上定义其它形式的加法和数乘运算，使其运算封闭（即运算结果仍然落在 $S$ 中），且符合八条公理，从而成为一个向量空间呢？}
\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{14.13. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item 例子7：考虑实向量空间 $V=\mathbb{R}^2$ 的两个子集，判断在按分量进行的加法与数乘运算下，它们是否成为向量空间：
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
S_1 = \left\{ \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}\,:\, x_1+2x_2 =0 \right\}, \hspace{0.3cm}
S_2 = \left\{ \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}\,:\, x_1+2x_2 =3 \right\}. 
\end{eqnarray*}
}
\item 解答：$S_1$ 是一个向量空间，$S_2$ 不是一个向量空间。

\item 注：
\begin{itemize}
\item 作为实数平面的两个子集，这是两条相互平行的直线。
\item 平面上的每个点都代表一个向量，即从原点出发以该点为终点的向量。
\item 抽象的向量空间中，其中的元素就称为向量，可能没有这么形象的图像。
\end{itemize}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{14.14. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  例子8：验证复数域 $\mathbb{C}$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的向量空间。

\item  证明：所考虑的加法与数乘运算分别如下，可见线性运算是定义好的，
\begin{enumerate}
\item[1.] 加法：$'+': \mathbb{C}\times \mathbb{C} \to \mathbb{C}$, $(z,w)\mapsto z+w$;  
\item[2.] 数乘：$'\cdot': \mathbb{R}\times \mathbb{C} \to \mathbb{C}$, $(k,z)\mapsto kz$. 
\end{enumerate}
然后验证这两个运算满足八条公理。
\begin{enumerate}
\item[A1.]  加法交换律。
\item[A2.]  加法结合律。
\item[A3.]  存在零向量。
\item[A4.]  每个向量都存在负向量。
\item[A5.]  数乘与加法的第一种分配律。
\item[A6.]  数乘与加法的第二种分配律。
\item[A7.]  数乘再数乘的效果。
\item[A8.]  用1数乘的效果。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{14.15. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item 例子9：任意数域 $F$ 可以看作是它自身上的向量空间。

\item  证明：所考虑的加法与数乘运算分别如下，
\begin{enumerate}
\item[1.] 加法：$'+': F\times F \to F$, $(a,b)\mapsto a+b$;  
\item[2.] 数乘：$'\cdot': F\times F \to F$, $(k,a)\mapsto ka$. 
\end{enumerate}
然后验证这两个运算满足八条公理。这些公理正好反映了 $F$ 作为数域所必须具备的运算性质。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{14.16. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item 例子10：设 $V=M(m\times n, \mathbb{R})$ 是 $m\times n$ 阶的实数矩阵全体组成的集合。则 $V$ 在矩阵的加法和实数的数乘运算下，是一个实向量空间。

\item  证明：所考虑的加法与数乘运算分别如下，
%\begin{enumerate}
%\item[1.]  加法：
\begin{eqnarray*}
M(m\times n, \mathbb{R})\times M(m\times n, \mathbb{R})  &\to&  M(m\times n, \mathbb{R}), \\ 
 (A,B) &\mapsto&  A+B. 
\end{eqnarray*}
%\item[2.]  数乘：
\begin{eqnarray*}
\mathbb{R}\times M(m\times n, \mathbb{R}) &\to& M(m\times n, \mathbb{R}), \\ 
(k,A) &\mapsto& kA. 
\end{eqnarray*}

%\end{enumerate}
需要验证的八条公理正好反映了矩阵的基本运算规律。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{14.17. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item 例子11：设 $V=\mathbb{R}[x]$ 是实系数多项式全体组成的集合。则 $V$ 在多项式的加法，以及实数与多项式的乘法运算下，是一个向量空间。

\item  证明：所考虑的加法与数乘运算分别如下，
%\begin{enumerate}
%\item[1.]  加法：
\begin{eqnarray*}
\mathbb{R}[x] \times \mathbb{R}[x]  &\to&  \mathbb{R}[x], \\ 
 (f(x),g(x)) &\mapsto&  f(x)+g(x). 
\end{eqnarray*}
%\item[2.]  数乘：
\begin{eqnarray*}
\mathbb{R}\times \mathbb{R}[x] &\to& \mathbb{R}[x], \\ 
(k,f(x)) &\mapsto& kf(x). 
\end{eqnarray*}

%\end{enumerate}
需要验证的八条公理正好反映了多项式运算的基本性质。


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{14.18. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item 例子12：设 $V=\mathbb{R}[x]_n$ 是次数小于等于 $n$ 的实系数多项式全体组成的集合。则 $V$ 在多项式的加法，以及实数与多项式的乘法运算下，是一个向量空间。

\item  证明：所考虑的加法与数乘运算分别如下，
%\begin{enumerate}
%\item[1.]  加法：
\begin{eqnarray*}
\mathbb{R}[x]_n \times \mathbb{R}[x]_n  &\to&  \mathbb{R}[x]_n, \\ 
 (f(x),g(x)) &\mapsto&  f(x)+g(x). 
\end{eqnarray*}
%\item[2.]  数乘：
\begin{eqnarray*}
\mathbb{R}\times \mathbb{R}[x]_n &\to& \mathbb{R}[x]_n, \\ 
(k,f(x)) &\mapsto& kf(x). 
\end{eqnarray*}

%\end{enumerate}
需要验证八条公理。注：如果已经证明 $\mathbb{R}[x]$ 是向量空间，而 $\mathbb{R}[x]_n$ 是它的一个子集，则这些公理自然也对这个子集成立。


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{14.19. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item 例子13：设 $V=C[a,b]$ 是定义在区间 $[a,b]$ 上的连续实值函数全体组成的集合。则 $V$ 在两个实值函数的加法，以及实数与实值函数的乘法运算下，是一个向量空间。

\item  证明：所考虑的加法与数乘运算分别如下，
%\begin{enumerate}
%\item[1.]  加法：
\begin{eqnarray*}
C[a,b] \times C[a,b]  &\to&  C[a,b], \\ 
 (f(x),g(x)) &\mapsto&  f(x)+g(x). 
\end{eqnarray*}
%\item[2.]  数乘：
\begin{eqnarray*}
\mathbb{R}\times C[a,b] &\to& C[a,b], \\ 
(k,f(x)) &\mapsto& kf(x). 
\end{eqnarray*}
需要验证八条公理。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{14.20. 课堂练习 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  证明数集  $F:=\mathbb{Q}[\sqrt{2}] = \{ a+b\sqrt{2} \mid a,b,\in\mathbb{Q}\}$ 是一个数域。

\item  考虑实向量空间 $V=\mathbb{R}^3$ 中的向量如下，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\alpha=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, 
\beta=\begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}, 
\gamma=\begin{bmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{bmatrix}.
\end{eqnarray*}
}
计算线性组合 $4\alpha+3\beta-2\gamma$. 

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{14.21. 课堂练习答案 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  解答思路：验证数域的定义中的三条公理。

\item  答案：$4\alpha+3\beta-2\gamma = (2,7,12)^t$. 


\end{enumerate}

\end{frame}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}


